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分数乘法的意义,“有温度的数学”——儿童理解乘除法的意义时,一定要有情景吗?

发布日期:2021-08-26 15:38:04 来源: 编辑: 阅读: 0

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格里尔在“作为情境模型的乘除法”一文中指出:为了使纯形式的推广在直观上能够被接受,必须辅以一些具体情境,在其中所说的推广可以被认为十分必要和完全合理的。对于乘除法意义本身而言,其内容是很枯燥的,但它植根于现实的沃土,意蕴丰富。


在小学阶段,乘除法的现实模型大致有以下几种:


①等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下,两个因数的地位并不完全对称(单位不相同),也就是过去所说的“每份数”、“份 1 数”。从而,也就有两种不同的除法逆运算,即通常所说的“平均分”、“包含除”。


②倍数问题。如“某种饮料中水的含量是果汁含量的3倍,现有果汁20千克,问需加配多少千克的水?”


③配对问题。如“4个男孩与3个女孩出去游玩,如果选出1个男孩与1个女孩外出购物,问一共有多少种选取方法?”这也是“搭配问题”。


④长方形的面积。如“已知长方形长10厘米,宽是3厘米,问长方形的面积是多少?”


按照格里尔的观点,在后两种情况下,两个因数的位置是完全对称的。还有研究者将乘法模型概括为:等量组的聚集、矩形模型、映射模型、配对模型和倍数模型,并认为最基本的是第一种模型,其他几种都可以转化为第一种。此外,还有速度——时间模型、单价——数量模型、工作效率——时间模型、密度——体积模型。这几种模型在第一学段均已出现,但在学生头脑中的印象是浅显的、零散的,仅限于正整数,且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。


随着学生数概念的发展,相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中,教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型,提高其对意义的表征能力。


在五年级(上册)“小数乘法”单元,教师可以设计这样的问题:请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义(“新课程标准”非常提倡这样的训练,从一年级开始就建议老师进行这方面的训练)。


对于如何表示“1.3×5”的意义,经过充分的思考、讨论、交流,学生会产生很多想法:如购物、长度、质量、面积等数学问题,如画实物图或线段图,如用文字或加法算式直接说明。


以分数乘法的教学为例,教师在教学中可出现这样一组情境:


①我的绳子长1/3米,小明的绳长是我的3倍,小明的绳子有多长?


②我的绳子长3米,小明的绳长是我的1/3,小明的绳子有多长?


引导学生通过画图、讨论得出算式,反馈时,教师适时追问:都是1/3×3,表示的意义相同吗?这就引发学生的思维冲突:如果说第一题可用“3个1/3 ”解释,那么后一题显然不能,这题的意义又该怎样表述?这样,在对同一算式不同含义的挖掘中,学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法出现的新问题,产生了认知冲突,有了扩展新含义的需要。


小学阶段乘除法意义的教学应着力在阶段性与发展性之间寻求平衡。换言之,对于任何数学概念的教学,教师都要立足于学生的思维状态,关注其对概念的不断更新、发展、重构,及时排除概念发展中的障碍,从而达成概念教学效果的最大化。


格里尔区分了用整数乘法的四种主要情境:


·等组(3张桌子,每张桌子4个人)


·倍数比较(男生是女生的4倍)


·矩形队列(4个同学一排,共3排)


·笛卡尔积(3个男同学与4个女同学进行组合,共有几种可能)……


在数学关系中,这些情景都涉及3个数字,即每个集合中物体的数量、集合的数量、总数。对于乘法来说,总数是未知的,但是只要总数已知,且其他两个数字中任意一个是已知的,那么就可以用除法进行计算。而对于除法来说,集合的数量及每个集合中物体的数量可能是未知的。因此就存在两种类型的除法:


·测量/分组——包含(12个同学,每4人一桌,需要几张桌子)


·分配——等分(12个同学,分坐4张桌子,每张桌子坐几人)……


早期经验。


尽管学校先教学的是乘法,但学生对分组与平分这类活动更熟悉。在某些情况下,4岁左右的儿童能够用具体的事物解决除法问题。在幼儿园阶段,儿童就能用物体来模拟分组与平分这类除法问题。这些思想的形式化过程,需要孩子们学习精确化的语言并重视生成的数字关系。


平均分与除法之间的差别。


理解除法运算涉及理解平均分活动之外的各种多样化的情境。与平分活动相比,把一个集合中的物体分成若干个小组,这种方法可以直接地表现出反复相减是如何把一个集合分为几个部分的,这个过程与乘法的反复相加的过程截然相反。


早期,孩子们可能是通过数集合中物体的个数和集合的个数来体验这些数字的。把物体拆分或重组成数量相等的集合,这种活动有助于孩子们在数字语言和数字之间建立联系,这种联系为他们以后学习乘、除法的运算奠定了基础。


意义的多样性。


在培养孩子们数感的时候,如果仅仅把乘法等同于重复相加,把除法等同于均分,那么将会限制他们对乘、除法的理解,以至于日后无法理解某些计算题:0.3×0.4和12÷1/2。


介绍除法符号。


正如在乘法中一样,我们可以把除法符号作为记录已知结果的简便方法介绍给学生。但是理解除法符号会给学生带来理解上的困难,而这种困难在儿童学习的早期阶段可能不是很明显……教师可以把这些解释等同于“重复减法”(包含)和“分配”(等分),这两种解释也表现了孩子们灵活解释除法的必要性。如果仅仅把除法解释为“分配”,那么他们就无法解释诸如8÷1/4这类除法问题(8被1/4个人分)。在孩子们还不能灵活、合理的解释符号化问题的情况下,他们就不能顺利地解决这些计算问题。虽然除法运算并不尊从交换律,但很多孩子在解决4÷8时,还是“依葫芦画瓢”用交换律进行计算。所以,在实际教学中,教师要早一点向孩子们介绍诸如“8÷4”这类问题,并让他们讨论“8÷4”和“4÷8”的区别,这样会让他们理解小的数字也可以除以大的数字,避免他们对除法形成这样的误解,即“除法所得的结果总是更小”。


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